数量关系模块练习（二）

约数倍数问题
题型一：整数计算型
【例1】（山东2014—52）甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4、5、6棵，三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少职工？（    ）
A．37 B．53 C．74 D．106
【例2】（河北2015—73）某单位实行无纸化办公，本月比上个月少买了5包A4纸和6包B5纸，共节省了197元。已知每包A4纸的价格比B5纸的贵2元，并且本月用于购买的A4纸和B5纸的费用相同（大于0元），那么该单位本月用于购买纸张的费用至少多少元？（    ）
A．646 B．520 C．323 D．197
【例3】（安徽2012—68）如图，街道XYZ在Y处拐弯，XY=1125米，YZ=855米，在街道一侧等距装路灯，要求XYZ处各装一盏路灯，这条街道最少要安装多少盏路灯？（    ）
A．47 B．46 C．45 D．44
【例4】（新疆兵团2013—56）在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份，这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上共有多少个公交站点？（含起点和终点）（    ）
A．27 B．29 C．32 D．37
题型二：小数分数型
【例5】（深圳2015—50）世界石油价格上涨，导致油站供油不足，已知三辆油罐车分别运来、、吨油，农忙季节农用机车急需用油，为支援生产，把三罐油平均分成若干等份，每份尽可能多。每台农用机车一次凭车牌号领取一份油，则至少可满足（    ）台农用机车的需求。
A．125 B．138 C．151 D．163
【例6】某化学生产厂商生产甲乙丙三种试剂，其中：甲试剂每瓶重2/15克，乙试剂每瓶重4/21克，丙试剂每瓶重8/35克。现在需要分别购买这三种试剂若干瓶，使得最后购买得到的三种试剂的总重量相等，那么至少需要购买这三种试剂共多少瓶？（    ）
A．197 B.137 C．97 D．67
题型三：约数个数型
【例7】（山东2013—5）对100个编号为1—100的罐子，第1个人在所有的编号为1的倍数的罐子中倒入1毫升水，第2个人在所有编号为2的倍数的罐子中倒入1毫升水……最后第100个人在所有编号为100的倍数的罐子中倒入1毫升水，问此时第92号罐子中装了多少毫升的水？（    ）
A．2 B．6 C．46 D．92
【例8】（春季联考2015—61）设有编号为1、2、3……、10的10张背面向上的纸牌，现有10名游戏者，第1名游戏者将所有编号是1的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，接着第2名游戏者将所有编号是2的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，……，第n名游戏者，将所有编号是n的倍数的纸牌翻成另一面向上的状态，如此下去，当第10名游戏者翻完纸牌后，那些纸牌正面向上的最大编号与最小编号的差是（    ）。
A．2 B．4 C．6 D．8
【例9】（河南2015—44）编号为1—50的选手参加一个爬楼比赛，楼高为60层，所有选手在第1层均获得一个特别的号牌，此后每经过一个楼层，如果选手的编号正好是楼层数的整数倍，就将得到一个特别的号牌，所有选手都到达终点后，正好持有3个特别号牌的选手有多少人？（    ）
A．1 B．4 C．7 D．10
 
多位数字问题
题型一：带入排除型
【例1】（山东2013—53）某工厂生产的零件总数是一个三位数，平均每天生产35个，统计员在记录时粗心地将该三位数的百位与十位数字对调了，结果统计的零件总数比实际总数少270个。问该工程所生产的零件总数最多可能有多少个？（    ）
A．525 B．630 C．855 D．960
题型二：逐位选择型
【例2】（天津2013—13）由1—9组成一个3位数，肯定有数字重复的组合有多少种？（    ）
A．220 B．255 C．280 D．225
【例3】（山西、四川2014—56）数字3、5至少都出现一次的三位数有多少个？（    ）
A．48 B．52 C．54 D．60
【例4】（深圳2014—51）用5、6、7、8四个数字组成五位数，数字可重复，组成的五位数至少有连续三位是5的数字有（    ）个。
A．30 B．33 C．37 D．40
【例5】（江苏2014B—36）恰有两位数字相同的三位数一共有（    ），。
A．243个 B．234个 C．225个 D．216个
【例6】（新疆213—46）宾馆有三层，每层有60间客房，客房的房号以层数加该层的房间编号组成，如一层的第一件客房号为101，三层的最后一件客房房号为360，那么在所有的房号中，数字“1”出现了多少次？（    ）
A．108 B．126 C．148 D．156
【例7】在一本300页的书中，数字“1”在书页中出现的次数（112算2次，111算3次）为多少次？（    ）
A．140 B．160 C．180 D．120
【例8】一本书一共400页，请问这些页码当中一共有多少页包含数字“3”？（    ）
A．180 B．172 C．162 D．157
题型三：页码用字型
【例9】（国考2008—51）编一本书的书页，用了270个数字（重复的也算，如页码115用了2个1和1个5共3个数字），问这本书一共有多少页？（    ）
A．117 B．126 C．127 D．189
【例10】（陕西事业单位2010—93）一本小说共有360页，则它在排版时必须用（    ）个数码。
A．762 B．856 C．972 D．998
【例11】（天津2014—8）小张练习写数码，从1、2、3……连续写至1000多才停止。写完一数，共写了3201个数码。请问，小张写得最后一个数是多少？（    ）
A．1032 B．1056 C．1072 D．1077
【例12】（新疆兵团2013—51）用2012减去一个四位数的差，正好等于将这个四位数各个数位数字相加得和，那么有介个这样的四位数？（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例13】（四川2012—13）有一个四位数，已知其个位数字加1等于其十位数字，十位数字加2等于其百位数字，把这个四位数颠倒次序排序所成的数与原数之和等于11110。问这个四位数除以4的余数是几？（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
余数同余问题
题型一：带入排除型
【例1】（天津2014—14）有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横行排4人编队，最后少3人；如果按每横行排3人编队，最后少2人；如果按每横行排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？（    ）
A．1045 B．1125 C．1235 D．1345
【例2】（江苏2013A—30）一个三位数除以53，商是a，余数b（a、b都是正整数），则a+b的最大值是？（    ）
A．69 B．80 C．65 D．75
题型二：余数等式型
【例3】（新疆2015—53）某种产品每箱中个数相等，将1箱这种产品按照每盒47个的方式重新装盒，最后剩15个；如果将10箱这种产品按照每盒47个重新装盒，问最后剩多少个？（    ）
A．9 B．29 C．36 D．39
题型三：同余口诀型
【例4】（浙江2010—77）有一个自然数x，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问x除以12的余数是多少？（    ）
A．1 B．5 C．9 D．11
【例5】文具店里的圆珠笔每支4元，签字笔每支6元，钢笔每支7元，甲、乙、丙三人带的钱数相等且不超过100元，三人分别购买一种笔，已知甲买完圆珠笔剩15元，乙买完签字笔后剩21元，丙买完钢笔后剩17元，如果三人的钱相加，最多能多少支笔？（    ）
A．60 B．65 C．72 D．87
【例6】一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这个三位数共有（    ）个。
A．8 B．7 C．6 D．5
【例7】一个三位数除以6余2，除以4余3，请问这样的三位数有多少个？（    ）
A．75 B．150 C．225 D．不存在
题型四：试值枚举型
【例8】（安徽2011—4）在1000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个？（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例9】（甘肃2015—58）某工厂新招了一百多名女工，为她们分配宿舍时发现若每间住6人则有一个人房间少1人，若每间住7人则有一个房间只有1人住，问如果每个房间最多住4人的话，最少需要几个房间？（    ）
A．26 B．27 C．28 D．29
【例10】（黑龙江2015—67）某单位将100多名实习生分配到2个不同的部门中，如果要按照5:9的比例分配，则需要额外招4个实习生才能按要求比例分配。如要按照7:11的比例分配，最后会多出2个人，问该单位至少需要再招几个实习生才能按照3:7的比例分配给2个部门？（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
 
星期日期问题
题型一：日期加总
【例1】（山东2013—51）某天办公桌上台历显示是一周前的日期，将台历的日期翻到当天，正好所翻页的日期加起来是168。那么当天是几号？（     ）
A．20 B．21 C．27 D．28
题型二：日期推断
【例2】（江苏2010A—27）2010年2月15日后第80天的日期是（    ）。
A．5月5日 B．5月6日 C．5月3日 D．5月4日
【例3】（春季联考2014—42）从A市到B市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年2月最后一天是星期三。问当年从A市到B市的最后一次航班是星期几出发的？（    ）
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五
题型三：星期推断
【例4】（广州2012-73）2012年3月份的最后一天是星期六，则2013年3月份的最后一天是（    ）。
A．星期天 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】A
【解析】“一年就是一天”，中间没有2月29号，所以是星期天。
题型四：综合推断
【例5】（上海2015A—73）某年2月份有5个星期日，4个星期六，则2月1日是（    ）。
A．星期四 B．星期五 C．星期六 D．星期日
【例6】（江苏215B—39）某年的3月有5个星期一和4星期二，则该年的国庆节是（    ）。
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
【例7】（北京2015—78）小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班10次，则下月他第一次值夜班可能是几号？（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例8】（江苏2014C—34）某年的3月份共有5个星期三，并且第一天不是星期一，最后一天不是星期五，则该年的3月15日是（    ）。
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
 
习题训练
 
【习题01】（广州2013—34）某公司规定，门窗每3天擦拭一次，绿化植物每5天浇一次水，消防设施每2天检查一次。如果上述三项工作刚好集中在星期三都完成了，那么下一次三项宫锁集中在同一天完成是在（    ）。
A．星期一 B．星期二 C．星期四 D．星期五
【答案】D
【解析】2、3、5的最小公倍数是30，说明下一次三项工作集中在同一天完成是在30天之后，而，余数是2，周三之后两天为周五。
【习题02】有两种药分别重25/6千克、15/8千克，将这两种药分别平均分成若干份，并且两种药每份的重量也是相等的，那么请问至少分成了多少份？（    ）
A．9 B．19 C ．29 D ．39
【答案】C
【解析】假设每份要的重量为X千克，那么X既是25/6的约数，也是15/8的约数，即“X是25/6和15/8的公约数”。想要分成的分数尽量的少，那么X应该尽量的大，那么“X是25/6和15/8的最大公约数”。25和15的最大公约数5，而6和8的最小公倍数为24，那么25/6和15/8的最大公约数应该是5/24，那么总份数=分（份）。
【习题03】老李给自家院子搞绿化，从院门口左边开始，贴着院墙每隔米中紫叶矮樱，每隔米种金叶榆，每隔米种龙爪槐，每隔8米种银杏，种完发现只有起点和终点（即院门口两边）四种植物重合种在一处，则院墙周长（    ）米。
A．90 B．120 C．150 D．180
【答案】B
【解析】方法一：由题意，院墙的周长应该是8/3、40/9、24/5、1/8的最小公倍数。8、40、24、8的最小公倍数为120，而3、9、5、1的最大公约数为1，所以这四个数的最小公倍数是120/1=120。
方法二：周长一定是8的倍数，结合选项，只有B项满足条件。
【习题04】（重庆2013—94）一个数有6个约数，其最小的3个约数之和为11，满足条件的所有数之和是（    ）。
A．210 B．343 C．798 D．840
【答案】A
【解析】这个数有6个约数，那么这个数分解质因数应该是或者的形式。最小的约数必须是1，另外两个约数之和为10，只有2+8、3+7、4+6三种可能。如果是1、2、8三个数字，那么4肯定也是其约数，排除；如果1、4、6三个数字，那么2肯定也是其约数，排除。所以最小的三个约数肯定是1、3、7，那么这个数字只能是或者两种形式，相加为210。
【习题05】（秋季联考2014—31）正整数a乘以1080得到一个完全平方数，问a的最小值的是（    ）。
A．15 B．10 C．30 D．60
【答案】C
【解析】因为，至少需要配才可满足平方数需求。
【习题06】（吉林2011—7）从1、2、3、4中任取3个数组成没有重复的三位数的偶数，取法种数为（    ）。
A．13 B．12 C．10 D．11
【答案】B
【解析】个位可以取2或者4，十位可以从剩下3个数字当中任性1个，百位可以再从剩下2个数字当中任选1个，所以一共有（种），选择B。
【习题07】（江苏2014C—30）某人欲将自己的手机密码设为3个数字，要求第一位是偶数，后两位中至少有一个是6，则他可选择的密码个数为（    ）。
A．68 B．72 C．95 D．100
【答案】C
【解析】第一位是偶数，有5种可能；后两位本来有种可能，后两位如果没有6的话，有种可能。所以满足条件共有（种）。
【习题08】（河北2014—42）从2000到6000的自然数中，不含数字5的自然数有多少个？（    ）
A．2188个 B．2187个 C．1814个 D．1813个
【答案】A
【解析】我们用□□□□来表示四位自然数，我们考虑2000—5999，如果不含有数字5，那么千位的数字选择可以是（2，3，4），百位、十位、个位的数字选择可以是（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9），那么不含数字5的自然数有（个），加上6000则总有有2188个。
【习题09】（广东2011—8）三个运动员跨台阶，台阶总数在100—150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一次还剩4级台阶。问这些台阶总有共多少级？（    ）
A ．119 B．121 C．129 D．131
【答案】A
【解析】直接代入：只要119满足“除以3余2，除以4余3，除以5余4”。
【习题10】（国考2013—74）小王参加了五门百分制的测验，每门成绩都是整数。其中语文94分，数学的得分最高，外语的得分等于语文和物理的平均分，物理的得分等于五门的平均分，化学的得分比外语多2分，并且是五门中第二高的得分。问小王的物理考了多少分？（    ）
A．94 B．95 C．96 D．97
【答案】C
【解析】因为“外语是语文和物理的平均数”，所以物理分数必须是偶数，排出B、D两项。若物理为94，那么外语也是94，化学96，数学更高，平均分不可能是94，矛盾。
【习题11】（重庆2013—97）今年某高校机械学院、材料学院和经管学院获得拨款的平均额是550万，材料学院、经管学院和外语学院获得拨款的平均额630万，机械学院和外语学院获得拨款的平均额是670万，则机械学院获得的拨款额是多少万元？（    ）
A．430 B．450 C．520 D．550
【答案】D
【解析】设机械学院、材料学院、经管学院、和外语学院获得的拨款分别是x、y、z、w万元。根据题意的：。
【习题12】（浙江2013—46）用1，2，3，4，5，6这6个数字组成不同的六位数，所有这些六位数的平均值是（    ）。
A．350000 B．355550 C．355555.5 D．388888.5
【答案】D
【解析】在个位上，1—6这六个数字是平均出现的，所以平均起来是其中位数3.5；同理，在十位、百位、千位、万位、十万位上，其平均数也是3.5。故而总体的平均值应该是。
【习题13】（国考2014—69）某单位某月1—12月安排甲、乙、丙三人组值夜班，每人值班4天，三人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？（    ）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【解析】所有值班日期之和为，则每个人的值班日期之和为，甲1日和2日值班，则11日和12日必须值班；乙9日和10日值班，则3日和4日必须值班，进而得到丙必须在5、6、7、8日值班，即丙是连续值班。
 
【习题14】（国考2013—70）根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（    ）。
A．周一或周三 B．周三或周日
C．周一或周四 D．周四或周日
【答案】D
【解析】8月一共有31天，除了1、2、3号之外的28天正好是四个整星期，所以后28天一定是20个工作日，因此1、2、3号一定恰好还有2个工作日，必须是周四、五、六或者周日、一、二这两种情形。
【习题15】（秋季联考2014—43）张先生在某个闰年中的生日是某个月的第四个也是最后一个星期五，他生日的前一个和后一个月正好也只有4个星期五。问当年的六一儿童节是星期几？（    ）
A．星期一 B．星期三 C．星期五 D．星期日
【答案】A
【解析】连续三个月一共是12个星期五，说明这三个月的天数最多只有90天，因为91天正好是13周，一定会有13个星期五。这年是闰年，连续三个月最多90天，那么只可能使2、3、4月，即：（天），这是唯一满足的情况。这90天加上5月1号一共恰好91天，必须有13个星期五，说那个命5月1号正好是星期五。6月1号是31天之后，31除以7余3，那么6月1号应该是星期一。
【习题16】（上海2014A—71、B—69）甲每天工作5天休息周六、周日2天，法定节假日如非周六、周日也要加班。已知甲某年休息了106天，那么他下一年12月的第一个休息日是（    ）。
A．12月1日 B．12月2日 C．12月3日 D．12月4日
【答案】A
【解析】我们知道，364天恰好52周，一定有52个周末，共104天休息，而甲休息了106天，说明当年是闰年，有366天，并且最后两天就是星期六、星期日。12月31日是星期日，那么12月1号是30天之前，30除以7余2，说明12月1号是星期五，于是，下年12月1号是星期六，恰好是12月的第一个休息日。
【习题17】（国考2013—70）书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书、8本小数、4本教材……”的顺序循环从左到右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（    ）
A．小说 B．教材 C．工具书 D．科技书
【答案】A
【解析】循环周期为（本），，所以最右边的一本书为第3本书是一样的类型，即是小说。
【习题18】（河北2013—46）把黑桃、红桃、方片、梅花四种花色的扑克牌按黑桃10张、红桃9张、方片7张、梅花5张的顺序循环排列。问第2015张扑克牌是什么花色？（    ）
A．黑桃 B．红桃 C．梅花 D．方片
【答案】C
【解析】黑桃10张、红桃9张、方片7张，梅花5张，循环周期为，2015可以被31整除，故第2015张应该是循环周期的最后一张，即为梅花。
【习题19】（江苏2013A—28）2013年是中国农历蛇年，在本世纪余下年份里，农历是蛇年的年份还有几个？（    ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【解析】因为问的是一世纪之内，所以余下87年，每过12年为一个蛇年，因此，，因此还有7个蛇年。
【习题20】（广东2013—10）有一部96集的电视纪录片从星期三开始在电视台播出。正常情况下，星期二到星期五每天播出1集，星期六、星期天每天播出2集，星期一停播。播完35集后，由于电视台要连续3天播出专题报道，该纪律片暂时停播，待专题报道结束后继续按常规播放。那么该纪录片最后一集将在（    ）播出。
A．星期二 B．星期五 C．星期六 D．星期日
【答案】C
【解析】这部电视纪录片在一周内播放8集，但第一周因为是从星期三开始播放的，所以少播放1集，所以前四周一共播放了（集）。第五周的星期二、三、四、五分别播放32、33、34、35集，那么紧接着星期六、日、第六周星期一暂时停播，这时还剩下（集）。再过七周还可以播放（集），还剩下5集分别在星期二、三、四、五、六播出。